Moivrova věta
Úloha číslo: 2789
Dokažte indukcí Moivrovu větu: \( (\cos \alpha + i \sin\alpha)^n = \cos(n\alpha)+ i \sin(n\alpha) \)
Nápověda
Použijte součtové vzorce:
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\),
\(\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cos(\beta)\).Řešení
Pro \(n=1\) jsou obě strany identické.
Předpokládáme platnost pro \(n\), dokazujeme pro \(n+1\).
\( (\cos \alpha + i \sin\alpha)^{n+1}= (\cos \alpha + i \sin\alpha)^n(\cos \alpha + i \sin\alpha)= (\cos(n\alpha)+ i \sin(n\alpha))(\cos \alpha + i \sin\alpha)=\\ \cos(n\alpha)\cos \alpha - \sin(n\alpha)\sin\alpha + i(\cos(n\alpha)\sin \alpha - \sin(n\alpha)\cos\alpha)= \cos((n+1)\alpha)+ i \sin((n+1)\alpha) \)
