Moivrova věta

Úloha číslo: 2789

Dokažte indukcí Moivrovu větu: \( (\cos \alpha + i \sin\alpha)^n = \cos(n\alpha)+ i \sin(n\alpha) \)

  • Nápověda

    Použijte součtové vzorce:
    \(\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\),
    \(\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cos(\beta)\).

  • Řešení

    Pro \(n=1\) jsou obě strany identické.

    Předpokládáme platnost pro \(n\), dokazujeme pro \(n+1\).

    \( (\cos \alpha + i \sin\alpha)^{n+1}= (\cos \alpha + i \sin\alpha)^n(\cos \alpha + i \sin\alpha)= (\cos(n\alpha)+ i \sin(n\alpha))(\cos \alpha + i \sin\alpha)=\\ \cos(n\alpha)\cos \alpha - \sin(n\alpha)\sin\alpha + i(\cos(n\alpha)\sin \alpha - \sin(n\alpha)\cos\alpha)= \cos((n+1)\alpha)+ i \sin((n+1)\alpha) \)

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze