Negace a platnost výroků

Úloha číslo: 2774

U každého z následujících výroků nejprve zformulujte jeho negaci. Poté rozhodněte, zdali platí původní výrok, nebo jeho negace.

Varianta 1
\(\forall x,y\in \mathbb R: x^2+y^2>0\)
Řešení
Negace výroku: \(\exists x,y\in R: x^2+y^2 \le 0\).

Platí negace a to pro volbu \(x=y=0\).
Varianta 2
\(\forall x\in \mathbb R\ \exists n\in \mathbb N: x< n\)
Řešení
Postupně \( \neg (\forall x\in \mathbb R\ \exists n\in \mathbb N: x< n) \iff \\ \exists x\in \mathbb R: \neg (\exists n\in \mathbb N: x< n) \iff \\ \exists x\in \mathbb R\ \forall n\in \mathbb N: \neg(x<n) \)

Negace výroku je tedy: \(\exists x\in \mathbb R\ \forall n\in \mathbb N: x\ge n\)

Platí původní výrok, protože volbou \(n=\lceil |x|\rceil +1\) získáme \(n\in \mathbb N\) a \(x \le |x| \le \lceil |x|\rceil <\lceil |x|\rceil +1=n\).
Varianta 3
\(\forall x\in \mathbb R\ \exists n\in \mathbb N: (x\ge n) \land (x<n+1)\)
Řešení
Negace výroku: \(\exists x\in \mathbb R\ \forall n\in \mathbb N: (x< n) \lor (x\ge n+1)\)

Platí negace, např. volbou \(x=0\).
Varianta 4
\(\forall \varepsilon> 0\ \exists \delta>0\ \forall x\in \mathbb R: |x-2|<\delta \ \Rightarrow\ |x-3| < \varepsilon \)
Řešení
Negace výroku \(\exists \varepsilon> 0\ \forall \delta>0\ \exists x\in \mathbb R: (|x-2|< \delta) \land (|x-3| \ge \varepsilon) \).

Platí negace výroku. Zvolíme \(\varepsilon =\frac12\) a bez ohledu na \(\delta\) volíme \(x=2\) . Potom \(|x-2|=0< \delta\) platí pro libovolné \(\delta\) a navíc platí i \(|x-3|=1\ge \frac12\) vzhledem k naší volbě.
Varianta 5
\(\forall \varepsilon> 0\ \exists \delta\ge 0\ \forall x\in \mathbb R: |x-2|<\delta \ \Rightarrow\ |x-3| < \varepsilon \)
(oproti předchozí variantě je rozdíl u rozsahu \(\delta\))
Řešení
Negace výroku: \(\exists \varepsilon> 0\ \forall \delta\ge 0\ \exists x\in R: (|x-2|< \delta) \land (|x-3| \ge \epsilon) \).

Platí původní výrok. Bez ohledu na \(\varepsilon\) volíme \(\delta=0\). Protoze pro žádné \(x\in \mathbb R\) neplatí \(|x-2|<0\), je implikace vždy splněna.
Varianta 6
\(\forall x\in \mathbb N\ \exists y\in \mathbb N\ \forall z\in \mathbb N: z>x \Rightarrow y<z\)
Řešení
Negace výroku \(\exists x\in \mathbb N\ \forall y\in \mathbb N\ \exists z\in \mathbb N: z>x \land y\ge z\)

Platí původní výrok, volíme \(y=x\), protože pro tuto volbu je implikace \(z>x \Rightarrow y<z\) ekvivalentní \(z>x \Rightarrow x<z\) a je vždy splněna.
Varianta 7
\(\exists y\in \mathbb N\ \forall x\in \mathbb N\ \forall z\in \mathbb N: z>x \Rightarrow y<z\)
Řešení
Negace výroku \(\forall y\in \mathbb N\ \exists x\in \mathbb N\ \exists z\in \mathbb Z: z>x \land y\ge z\)

Platí původní výrok, volíme \(y=1\). Z předpokladu \(z>x\), \(x,z\in \mathbb N\) dostáváme \(z\ge 2\). Proto vždy platí důsledek \(y=1<z\).
Varianta 8
\(\exists y\in \mathbb N\ \forall x\in \mathbb N\ \forall z\in \mathbb R: z>x \Rightarrow y<z\)
Řešení
Negace výroku \(\forall y\in \mathbb N\ \exists x\in \mathbb N\ \exists z\in \mathbb R: z>x \land y\ge z\)

Platí původní výrok, volíme \(y=1\). Z předpokladu \(z>x\), \(x\in \mathbb N, z\in \mathbb R\) dostáváme \(z> 1\). Proto vždy platí důsledek \(y=1<z\).
Varianta 9
\(\exists y\in \mathbb N\ \forall x\in \mathbb R\ \forall z\in \mathbb N: z>x \Rightarrow y<z\)
Řešení
Negace výroku \(\forall y\in \mathbb N\ \exists x\in \mathbb R\ \exists z\in \mathbb N: z>x \land y\ge z\)

Platí negace, volíme \(x=0\) a \(z=y\). Potom platí \(z>x\) i \(y\ge z\).