Sbírka matematických úloh

Formální zápis výroků

Úloha číslo: 2773

• Varianta 1

  Všechna přirozená čísla jsou sudá.

• Řešení

  \(\forall x\in \mathbb N\ \exists y\in \mathbb N: x=2y\).

  Negace: \(\exists x\in \mathbb N\ \forall y\in \mathbb N: x\ne 2y\).

  Slovy: existuje takové přirozené číslo, které není sudé.
  (Nebo: nikoli všechna, nýbrž jen některá přirozená čísla jsou sudá.)

• Varianta 2

  Každé prvočíslo je liché.

• Nápověda

  Pro charakterizaci prvočísla \(p\) použijte např. \(\forall x,y\in \mathbb N: p=xy \Rightarrow (x=1 \lor y=1)\).

• Řešení

  \(\forall p\in \mathbb N: (\forall x,y\in \mathbb N: p=xy \Rightarrow (x=1 \lor y=1)) \Rightarrow (\exists k\in \mathbb N: p=2k-1)\).

  Kvantifikátory lze shrnout dopředu. Kvantifikace \(k\) nezávisí na kvantifikaci \(x,y\), je proto možné změnit i jejich pořadí.

  \(\forall p,x,y\in \mathbb N\ \exists k\in \mathbb N: (p=xy \Rightarrow (x=1 \lor y=1)) \Rightarrow ( p=2k-1)\).

  Negace \(\exists p,x,y\in \mathbb N\ \forall k\in \mathbb N: (p=xy \Rightarrow (x=1 \lor y=1)) \land (p\ne 2k-1)\).

  Slovy: existuje takové prvočíslo, které není liché.

• Varianta 3

  Některé přirozené číslo je dělitelné všemi prvočísly.

• Nápověda

  Pro vyjádření vlastnosti „býti prvočíslem“ můžete také zavést predikát \(prime(p)\).

• Řešení

  \(\exists n\in \mathbb N\ \forall p\in \mathbb N: prime(p) \Rightarrow p|n\)

  Negace \(\forall n\in \mathbb N\ \exists p\in \mathbb N: prime(p) \land \neg(p|n)\)

  Slovy: pro libovolné přirozené číslo existuje prvočíslo, které není jeho dělitelem.

• Varianta 4

  Mezi \(n\) a \(2n\) najdeme vždy nějaké prvočíslo.

• Řešení

  \(\forall n\ \exists p\in \mathbb N: prime(p) \land n< p \land p< 2n\)

  Negace: \(\exists n\ \forall p\in \mathbb N: prime(p) \Rightarrow (n\ge p \lor p\ge 2n)\)

  Slovy: existuje takové číslo \(n\), že každé prvočíslo je menší nebo rovno \(n\) nebo větší nebo rovno \(2n\).