Asociativita implikace
Úloha číslo: 2771
Jsou výroky \((a\Rightarrow b)\Rightarrow c\ \) a \(\ a\Rightarrow (b\Rightarrow c)\) ekvivalentní?
Nápověda
Zkuste \(a \Rightarrow b\) nahradit \(\neg a \lor b\).
Řešení
\(\Phi=(a\Rightarrow b)\Rightarrow c \iff \neg(\neg a \lor b)\lor c \iff (a \land \neg b) \lor c\)
\(\Psi=a\Rightarrow (b\Rightarrow c) \iff \neg a \lor \neg b \lor c \)
Tedy \(\Psi\) neplatí jen pro \(a=1, b=1, c=0\), zatímco \(\Phi\) neplatí pro kombinace hodnot \(a=1, b=1, c=0\); a také \(a=0, b=1, c=0\); a \(a=0, b=0, c=0\).
Alternativně lze sestrojit pravdivostní tabulku a dojít ke stejnému výsledku:
\begin{array}{ccc|cccc} a & b & c & a \Rightarrow b & (a\Rightarrow b)\Rightarrow c & b \Rightarrow c & a\Rightarrow (b\Rightarrow c)\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}Výsledek
Výroky nejsou ekvivalentní.
