Definiční obory funkcí jedné proměnné

Určete definiční obory následujících reálných funkcí:

Varianta 1
\(f(x)=\frac1{1+\sin x}\)
Řešení
Podíl není definován pro \(\sin x=-1\), tedy pro \(x=\frac{3\pi}2+2k\pi\).
Výsledek
Definiční obor funkce \(f\) je \(\mathbb R\setminus\{\frac{3\pi}2+2k\pi,k\in \mathbb Z\}\).
Varianta 2
\(f(x)=\sqrt{\ln\frac1x}\)
Řešení
Odmocnina je definována pro \(\ln\frac1x\ge 0\), tedy \(\frac1x\ge 1\).
Výsledek
Definiční obor funkce \(f\) je interval \(x\in(0{,}1\rangle\)
Varianta 3
\(f(x)=\ln\sin x\)
Řešení
Funkce \(\ln\) není definována pro nekladné hodnoty argumentu, tedy je-li \(\sin x\le 0\), což je v intervalu \(\langle -\pi,\pi\rangle\) interval \(\langle -\pi,0\rangle\).
Výsledek
Definiční obor funkce \(f\) je množina \(\bigcup_{k\in \mathbb Z} (2k\pi,(2k+1)\pi)\).
Varianta 4
\(f(x)=\ln\ln\sin x\)
Řešení
Aby byl definován vnější (první) logaritmus, je třeba, aby \(\ln\sin x >0\), což znamená \(\sin x > 1\), což je již ovšem mimo obor hodnot funkce sinus.
Výsledek
Funkce \(f\) není nikde definována.