Nerovnice s absolutní hodnotou
Úloha číslo: 2752
V oboru reálných čísel vyřešte následující nerovnice:
Varianta 1
\(|x-1|< 3\)
Nápověda
Rozeberte případy, kdy je výraz v absolutní hodnotě kladný a kdy záporný.
Řešení
\(x-1=0 \longrightarrow x=1\)
- \(x\le 1: |x-1|=1-x,\ 1-x\lt 3 \longrightarrow x> -2 \longrightarrow x\in(-2{,}1\rangle\)
- \(x\ge 1: |x-1|=x-1,\ x-1\lt 3 \longrightarrow x\lt4 \longrightarrow x\in\langle 1{,}4) \)
Výsledek
Řešním je \(x\in (-2{,}4)\).
Varianta 2
\(|x+2|\ge 4\)
Řešení
- \(x\ge -2: x+2\ge 4 \longrightarrow x\ge 2 \longrightarrow x\in \langle 2,\infty)\)
- \(x\le -2: -x-2\ge 4 \longrightarrow x\le -6 \longrightarrow x\in (-\infty,-6\rangle \)
Výsledek
Řesením je \(x\in (-\infty,-6\rangle \cup \langle 2,\infty)\).
Varianta 3
\(|5x-2|<x\)
Řešení
- \(x\le \frac25 \longrightarrow 2-5x \lt x \longrightarrow 6x>2 \longrightarrow x>\frac13 \longrightarrow x\in\left(\frac13,\frac25 \right\rangle \)
- \(x\ge \frac25 \longrightarrow 4x\lt 2 \longrightarrow x\lt\frac12 \longrightarrow x\in \left\langle \frac25,\frac12\right)\)
Výsledek
Řešením je \(x\in \left(\frac13,\frac12\right)\)
Varianta 4
\(|x-1|<|x+5|\)
Řešení
- \(x\le -5: 1-x \lt -x-5 \longrightarrow 0\lt -4\), nemá řešení.
- \(-5 \le x \le 1: 1-x \lt x+5 \longrightarrow 2x+4 > 0 \longrightarrow x> 2 \longrightarrow x\in (-2{,}1 \rangle\)
- \(x \ge 1: x-1\lt x+5 \longrightarrow -1\lt5 \longrightarrow x\in \langle 1, \infty )\)
Výsledek
Řešením je \(x\in (-2,\infty)\).
Varianta 5
\(\left| \frac{x+1}{x-1}\right| \le 1\)
Nápověda
Nezapomeňte na případ, kdy hodnota výrazu není definována.
Řešení
- \(x\le -1: \frac{-x-1}{-x+1}\le 1 \longrightarrow x+1 \ge x-1 \longrightarrow x\in (-\infty,-1\rangle\)
- \(-1\le x \lt 1: \frac{x+1}{-x+1}\le 1 \longrightarrow x+1 \le 1-x \longrightarrow x\le 0 \longrightarrow x\in \langle -1, 0\rangle\)
- \(x> 1: \frac{x+1}{x-1} \le 1 \longrightarrow x+1\le x-1 \longrightarrow 1\le -1\) nemá řešení.
Výsledek
Řešení je \(x\in (-\infty, 0\rangle \).
Varianta 6
\(|x^2+2x-3|\ge |x^2+3x-4|\)
Řešení
Nejprve určíme hodnoty \(x\) v nichž výrazy v obsolutních hodnotách mění znaménko.
\(x^2+2x-3=0 \longrightarrow x_{1{,}2}=\frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=-1\pm 2 \longrightarrow x_1=-3,\ x_2=1\)
\(x^2+3x-4=0 \longrightarrow x_{1{,}2}=\frac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{2} \longrightarrow x_1=-4,\ x_2=1\)
- \(x \le -4: x^2+2x-3 \ge x^2 +3x -4 \longrightarrow x \le 1 \longrightarrow x\in (-\infty,-4\rangle \)
- \(-4\le x\le -3: x^2+2x-3 \ge -x^2 -3x +4 \longrightarrow 2x^2+5x-7\ge 0 \longrightarrow \\ (x-1)(2x+7)\ge 0 \longrightarrow 2x+7 \le 0 \longrightarrow x\in \left\langle -4,-\frac72 \right\rangle\)
- \(-3\le x \le 1: -x^2-2x+3 \ge -x^2 -3x +4 \longrightarrow x\ge 1 \longrightarrow x=1\)
- \(x \ge 1: x^2+2x-3 \ge x^2 +3x -4 \longrightarrow x\le 1 \longrightarrow x=1\)
Výsledek
Řešením je \(x\in \left(-\infty,-\frac72 \right\rangle \cup \{1\}\)
Varianta 7
\(||x-2|+1|\le 5\)
Řešení
- \(x\le 2 \longrightarrow |x-2+1|=|3-x|> 0: 3-x\le 5 \longrightarrow x\ge -2\longrightarrow x\in \langle -2{,}2\rangle\)
- \(x\ge 2 \longrightarrow |x-2+1|=x-1>0: x-1\le 5 \longrightarrow x\le 6 \longrightarrow x\in\langle 2{,}6\rangle \)
Výsledek
Řešením je \(x\in \langle -2{,}6\rangle\).
Varianta 8
\(|x^2-4x+3|\le |x^2-4|\)
Řešení
\(x^2-4x+3=0 \longrightarrow x_{1{,}2}=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=2\pm 1\)
\(x^2-4=0 \longrightarrow x_{1{,}2}=\pm 2\)
- \(x\le -2: x^2-4x+3\le x^2-4 \longrightarrow -4x\le -7 \longrightarrow x\ge \frac74\) nemá řešení
- \(-2\le x \le 1: x^2-4x+3\le -x^2+4 \longrightarrow 2x^2-4x-1\le 0\\ x_{1{,}2}=\frac{4\pm \sqrt{16+8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}2 \longrightarrow x\in \left\langle 1-\frac{\sqrt{6}}2{,}1\right\rangle\)
- \(1\le x\le 2: -x^2+4x-3\le -x^2+4 \longrightarrow 4x\le 7 \longrightarrow x\le \frac74 \longrightarrow x\in \left\langle 1,\frac74\right\rangle\)
- \(2\le x\le 3: -x^2+4x-3\le x^2-4 \longrightarrow 2x^2-4x-1\ge 0 \longrightarrow x\in \left\langle 1+\frac{\sqrt{6}}2{,}3\right\rangle\)
- \(x\ge 3: x^2-4x+3\le x^2-4 \longrightarrow -4x\le -7 \longrightarrow x\ge \frac74 \longrightarrow x\in \langle 3,\infty)\)
Výsledek
Řešením je \(x\in \left\langle 1-\frac{\sqrt{6}}2,\frac74\right\rangle \cup \left\langle 1+\frac{\sqrt{6}}2,\infty\right)\).
