Nerovnice a rovnice s odmocninami
Úloha číslo: 2751
V oboru reálných čísel vyřešte následující nerovnice a rovnice:
Varianta 1
\( \sqrt{x-2}+x>4 \)
Řešení
Výraz je definován pro \(x-2\ge 0 \longrightarrow x\ge 2\). Nerovnost upravíme na \(\sqrt{x-2}> 4-x\). Levá strana této nerovnosti je vždy nezáporná (pokud je definována), tudíž pokud je pravá strana záporná, nerovnost platí. To nastane pro \(x\in (4,\infty)\). Pro \(2\leq x\leq 4\) jsou obě strany nerovnosti kladné a tudíž můžeme umocnit.
\(\sqrt{x-2}> 4-x \longrightarrow x-2> x^2-8x+16 \longrightarrow x^2-9x+18<0 \longrightarrow x_{1{,}2}=\frac{9\pm\sqrt{81-4{\cdot}18}}{2}=\frac{9\pm3}{2}\).
Výsledek
Řešením je \(x\in (3,\infty)\).
Varianta 2
\( \sqrt{x^2+2x-3} \ge \sqrt{x^2+3x-4} \)
Řešení
Levá strana je definována pro \(x^2+2x-3 \ge 0 \longrightarrow x_{1{,}2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=-1\pm 2 \longrightarrow \\ x\in (-\infty,-3\rangle \cup \langle 1,\infty)\).
Pravá strana je definována pro \(x^2+3x-4 \ge 0 \longrightarrow x_{1{,}2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2} \longrightarrow x\in (-\infty,-4\rangle \cup \langle 1,\infty)\).
Umocněním obou stran získáme \(x^2+2x-3 \ge x^2+3x-4 \longrightarrow x\le 1\).
Nerovnost platí, jsou-li všechny tři podmínky splněny současně.
Výsledek
Řešením je \(x\in (-\infty,-4\rangle \cup \{1\}\).
Varianta 3
\( \sqrt{x^2-1}\ge \sqrt{x^2+x-6} \)
Řešení
Levá strana je definována pro \(x^2-1\ge 0 \longrightarrow x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle 1,\infty)\).
Pravá strana je definována pro \(x^2+x-6\ge 0 \longrightarrow x_{1{,}2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}\longrightarrow x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle 2,\infty)\).
Umocněním získáme \(x^2-1 \ge x^2+x-6 \longrightarrow x\le 5\).
Výsledek
Řešením je \(x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle 2{,}5\rangle\).
Varianta 4
\( \sqrt{x+1}-\sqrt{x-4}=1 \)
Řešení
První odmocnina je definována pro \(x+1\ge 0 \longrightarrow x\ge -1\).
Druhá odmocnina je definována pro \(x-4\ge 0 \longrightarrow x\ge 4\).
Umocněním získáme: \(x+1 +2\sqrt{(x+1)(x-4)}+x-4 =1 \longrightarrow \sqrt{x^2-3x-4}=x-2 \longrightarrow x^2-3x-4=x^2-4x+4 \longrightarrow x=8\).
Zkouška \(\sqrt{8+1}-\sqrt{8-4}=3-2=1\).
Výsledek
Řešením je \(x=8\).
