Sbírka matematických úloh

Přesnost měření

Úloha číslo: 2743

• Varianta 1

  určili obvod obdélníka s přesností na \(mm\).

• Řešení

  Uvažujeme jednotky milimetry a stejnou absolutní chybu \(\varepsilon\) u obou měření: \(a=80\pm\varepsilon\), \(b=60\pm\varepsilon\).

  \(o=2(a+b)=28\pm4\varepsilon\). Má-li být výsledná chyba nejvýše \(\frac12\, mm\), máme \(4\varepsilon< \frac12\) čili \(\varepsilon<\frac18\).

• Výsledek

  Strany je třeba měřit s přesností alespoň \(\frac18\, mm\).

• Varianta 2

  určili plochu obdélníka s přesností na \(mm^2\).

• Řešení

  \(P=ab=(80\pm\varepsilon)(60\pm\varepsilon)=4800\pm140\varepsilon\pm\varepsilon^2\).
  Má-li být výsledná chyba nejvýše \(\frac12\,mm^2\), máme \(140\varepsilon+\varepsilon^2< \frac12\) čili \(\varepsilon<\frac{\sqrt{19602}-140}2\doteq 0{,}0035713\).

• Výsledek

  Strany je třeba měřit s přesností alespoň \(3{,}5\,\mu{}m\).

• Varianta 3

  určili délku úhlopříčky obdélníka s přesností na mm.
  (Nehleďte na to, ze úhlopříčku bychom mohli změřit přímo.)

• Řešení

  \(d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(80\pm\varepsilon)^2+(60\pm\varepsilon)^2}= \sqrt{6400\pm160\varepsilon+\varepsilon^2+3600\pm120\varepsilon+\varepsilon^2}= \sqrt{10000\pm280\varepsilon+2\varepsilon^2} \)

  Nyní porovnáváme s \(100\pm\frac12\), čili \(\sqrt{10000\pm280\varepsilon+2\varepsilon^2}< \sqrt{(100\pm\frac12)^2}\).

  Odtud \(280\varepsilon+2\varepsilon^2-100\frac14 \le 0\) a \(\varepsilon<\frac{\sqrt{280^2+802}-280}4\doteq 0{,}35712\)

  (Nerovnost \(-280\varepsilon+2\varepsilon^2-99\frac34 \le 0\) dává horší odhad \(\varepsilon<\frac{280-\sqrt{280^2-798}}4\doteq 0{,}35716\) )

• Výsledek

  Strany je třeba měřit s přesností alespoň \(0{,}35\, mm\).

• Varianta 4

  určili plochu obdélníka s přesností na \(cm^2\).

• Řešení

  Uvažujeme jednotky centimetry

  \(P=ab=(8\pm\varepsilon)(6\pm\varepsilon)=48\pm14\varepsilon\pm\varepsilon^2\).
  Má-li být výsledná chyba nejvýše \(\frac12\,cm^2\), máme \(14\varepsilon+\varepsilon^2< \frac12\) čili \(\varepsilon<\frac{\sqrt{198}-14}2\doteq 0{,}035623\).

• Výsledek

  Strany je třeba měřit s přesností alespoň \(0{,}35\, mm\).