Matice s parametrem
Úloha číslo: 2724
Pro jaká \(g\in \mathbb R\) je matice \( \mathbf G=\begin{pmatrix} g& 1& 0 \\ 1& g& 1 \\ 0& 1& g \\ \end{pmatrix} \) pozitivně definitní?
Řešení 1
Řešení pomocí rekurence, resp. Gaussovy eliminace.
Nutně \(g\gt 0\).
Dále musí být matice \(\mathbf G_1=\mathbf G'-\frac{1}{g}(1{,}0)^T(1{,}0)= \begin{pmatrix} g- \frac{1}{g} & 1\\ 1& g\\ \end{pmatrix} \) také pozitivně definitní, čili \(g\gt 1\).
V posledním kroku získáme \(\mathbf G_2=\mathbf G'_1-\frac{1}{g}(1)^T(1)=\left(g-\frac{g}{g^2-1}\right)=\left(\frac{g^3-2g}{g^2-1}\right)\) což je pozitivně definitní matice řádu jedna jen pro \(g\gt\sqrt{2}\).
Tentýž výpočet lze provést pomocí elementárních úprav:
\[ \begin{pmatrix} g& 1& 0 \\ 1& g& 1 \\ 0& 1& g \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} g& 1& 0 \\ 0& \frac{g^2-1}{g}& 1 \\ 0& 1& g \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} g& 1& 0 \\ 0& \frac{g^2-1}{g}& 1 \\ 0& 0& \frac{g(g^2-2)}{g^2-1}\\ \end{pmatrix} \]
Řešení 2
Řešení pomocí determinantů.
\( \det(\mathbf G)= \begin{vmatrix} g& 1& 0 \\ 1& g& 1 \\ 0& 1& g \\ \end{vmatrix} =g(g^2-2)\gt 0\) pro \(g\in (-\sqrt{2},0) \cup (\sqrt{2},\infty)\).
\( \begin{vmatrix} g& 1\\ 1& g\\ \end{vmatrix} =g^2-1\gt 0\) pro \(g\in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)\).
\(|g|=g \gt 0\) pro \(g\in (0,\infty)\).
Matice je pozitivně definitní, je-li \(g\) v průniku všech tří množin.
Odpověď
Matice \(\mathbf G\) je pozitivně definitní jen pro \(g>\sqrt{2}\).
