Sbírka matematických úloh

Matice 2 x 2

Úloha číslo: 2642

• Varianta 1

  \( \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & -3 \\ \end{pmatrix} \)

• Nápověda

  Vlastní čísla \(\lambda_i\) matice \(A\) jsou kořeny charakteristického polynomu \(p_A(t)=|A-t I|\).

  Vlastní vektory příslušné danému \(\lambda_i\) splňují rovnost \(A\mathbf x=\lambda_i\mathbf x\), neboli jsou řešením homogenní soustavy \((A-\lambda_i I)\mathbf x=\mathbf 0\).

• Řešení

  \(\begin{vmatrix} 2-t & 6 \\ 6 & -3-t \\ \end{vmatrix} =t^2+t-42=(t-6)(t+7)\) čili \(\lambda_1=6\), \(\lambda_2=-7\)

  Vlastní vektory spočítáme řešením příslušných soustav lineárních rovnic \[\begin{eqnarray*} -4x_1 + 6x_2 & = & 0\\ 6x_1 - 9x_2 & = & 0 \end{eqnarray*}\] kde dostaneme řešení \(\mathbf x=(x_1, x_2)^T=c\cdot(3, 2)^T\).

  Pro druhé vlastní číslo \(-7\) \[\begin{eqnarray*} 9x_1 + 6x_2 & = & 0\\ 6x_1 + 4x_2 & = & 0 \end{eqnarray*}\] dostaneme řešení \(\mathbf x=c\cdot(2, -3)^T\).

  Matice těchto soustav jsou vždy singulární (tak jsou volena vlastní čísla), proto si všimněte, že u matic řádu 2 je vždy druhý řádek skalárním násobkem předchozího.

• Varianta 2

  \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 2 \\ \end{pmatrix} \)

• Výsledek

  \(\lambda_1=1+i\), \(\mathbf x=c\cdot(1, 1+i)^T\);
  \(\lambda_2=1-i\), \(\mathbf x=c\cdot(1, 1-i)^T\);

• Varianta 3

  \( \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \)

• Výsledek

  \(\lambda_1=6\), \(\mathbf x=c\cdot(1, 1)^T\);
  \(\lambda_2=-1\), \(\mathbf x=c\cdot(-5, 2)^T\);

• Varianta 4

  \( \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 4 & -1 \\ \end{pmatrix} \)

• Výsledek

  \(\lambda_1=9\), \(\mathbf x=c\cdot(5, 2)^T\);
  \(\lambda_2=-5\), \(\mathbf x=c\cdot(-1, 1)^T\);