Určení polynomu
Úloha číslo: 2623
Najděte kubický reálný polynom \(f\) s celočíselnými koeficienty, aby \((x-1)|f\) a navíc \(f(2)=f(3)=f(4)\).
Nápověda
Odvoďte vztahy pro koeficienty polynomu \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\).
Řešení
Ze vztahu \((x-1)|f\) plyne, že \(x=1\) je kořen polynomu, tedy \(a+b+c+d=0\).
Dosazením za \(x\) získáme také rovnice \(8a+4b+2c+d=27a+9b+3c+d=64a+16b+4c+d\).
Vzájemným odečítáním získáme \(19a+5b+c=0\) a \(37a+7b+c=0\), a následně \(9a+b=0\). Zvlolíme \(a\) celočíselné, např. \(a=-1\) a dopočítáme ostatní koeficienty.
Výsledek
Úloha má více řešení, např. \(f(x)=-x^3+9x^2-26x+18\).
Obecné řešení zní: \(f(x)=ax^3-9ax^2+26ax-18a\).
